パーセントとパーセントポイント、そして間違えやすいパーセント計算
公開日: · 最終更新日:
パーセントの計算は式が単純なのに、よく間違えます。原因のほとんどは掛け算ではなく、「何に対する何パーセントなのか」、つまり基準になる値を見落とすことにあります。この記事では、基本形を三つ整理したうえで、基準の値が原因で起こる代表的な勘違いを数字で一つずつ確かめます。
パーセント計算の三つの基本形
パーセントの問題は、ほぼすべて次の三つのどれかです。
| 求めるもの | 式 | 例 |
|---|---|---|
| AのB％はいくつか | A × B ÷ 100 | 250の12％は 250 × 12 ÷ 100 = 30 |
| AはBの何％か | A ÷ B × 100 | 30は250の 30 ÷ 250 × 100 = 12％ |
| AからBになると何％変わったか | (B − A) ÷ A × 100 | 80から100になると (100 − 80) ÷ 80 × 100 = 25％の増加 |
三つのどの式でも、割る数が基準の値です。三つ目の式では、変わる前の値Aが基準です。80から100への変化を100で割ると20％になりますが、これは「80は100より20％小さい」という別の問いの答えです。
パーセントとパーセントポイント
割合どうしを比べるときは、言い方が二通りあります。500人のうち「はい」と答えた人が20人（4％）から25人（5％）に増えたとしましょう。
- パーセントポイントは二つの割合の差です。5 − 4 = 1なので、1パーセントポイント上がりました。
- パーセントは相対的な変化です。(5 − 4) ÷ 4 × 100 = 25なので、25％増えました。人数で計算しても (25 − 20) ÷ 20 × 100 = 25％で、同じです。
どちらの表現も正しいのですが、意味が違います。この変化を「1％上がった」と書くと誤りになります。4％が1％上がると 4 × 1.01 = 4.04％だからです。統計機関の用語集や表記ガイドは、割合どうしの差を述べるときにはパーセントポイントを使うよう区別しています。金利、支持率、失業率のように値そのものがパーセントである数字を読むときは、「上がった」が差を指すのか変化率を指すのかを確かめてください。
上げてから同じ割合で下げても元の値には戻りません
100を20％上げると120です。120を20％下げると 120 × 0.8 = 96で、100にはなりません。上げるときの20％は100の20％（20）、下げるときの20％は120の20％（24）で、基準の値が違うからです。
一度に計算すると 1.2 × 0.8 = 0.96なので、順番を入れ替えて先に下げてから上げても結果は同じ96で、元の値より4％小さくなります。120を100に戻すには、20 ÷ 120 × 100 = 約16.67％下げる必要があります。
重ねての割引は足し算ではなく掛け算です
30％割引のあとにさらに20％割引しても、50％割引にはなりません。200から始めると次のようになります。
- 30％割引：200 × 0.7 = 140
- さらに20％割引：140 × 0.8 = 112
残る割合は 0.7 × 0.8 = 0.56なので、全体の割引率は44％です。二回目の割引はすでに下がった価格の140が基準なので、200の20％（40）ではなく、140の20％（28）しか引かれません。
続けて上げるときも同じです。100を10％ずつ二回上げると 100 × 1.1 × 1.1 = 121で、20％ではなく21％の上昇になります。複利で利息が付く計算は、この原理に従っています。
割引前の価格を逆算する
30％割引後の価格が84のとき、元の価格は 84 ÷ (1 − 0.3) = 84 ÷ 0.7 = 120です。検算すると 120 × 0.7 = 84です。
ここでよくある間違いは、84に30％を足し戻すことです。84 × 1.3 = 109.2となり、120と合いません。割引で引かれたのは元の価格の30％ですが、足し戻したのは割引後の価格の30％だからです。割合rだけ減らした値から元の値を求めるときは (1 − r) で割り、rだけ増やした値から求めるときは (1 + r) で割ります。
増加率と減少率は対称ではありません
50が100になると、(100 − 50) ÷ 50 × 100 = 100％の増加です。100が50になると、(50 − 100) ÷ 100 × 100 = −50％、つまり50％の減少です。差はどちらも50ですが、基準の値が50と100で違うため、割合が変わります。
そのため、値が0を下回らないかぎり減少率は100％を超えませんが、増加率には上限がありません。また、50％下がった値が元に戻るには、50％ではなく100％上がる必要があります。
計算の前に確かめること
- 基準の値は何か：「20％多い」と「20％少ない」は基準が違うので、互いを裏返した言い方ではありません。まず何で割るのかを決めてください。
- 差なのか変化率なのか：二つの割合を比べるなら、パーセントポイントとパーセントのどちらなのかを明示してください。
- 何度も変わったのか：パーセントを足さずに、(1 ± 割合) を順に掛けてください。
- 逆算するのか：同じパーセントを逆向きに当てはめるのではなく、(1 ± 割合) で割ってください。
下の関連ツールにこの記事の数字をそのまま入れると、同じ結果になることを確かめられます。