Prozent und Prozentpunkte – und häufige Fehler beim Prozentrechnen

Die Formeln der Prozentrechnung sind einfach, trotzdem geht sie oft schief. Meist liegt es nicht am Multiplizieren, sondern daran, dass die Bezugsgröße aus dem Blick gerät: Prozent wovon? Dieser Artikel fasst die drei Grundaufgaben zusammen und rechnet dann die typischen Irrtümer rund um die Bezugsgröße mit Zahlen durch.

Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung

Fast jede Prozentaufgabe ist eine dieser drei.

Gefragt ist	Formel	Beispiel
Wie viel sind B % von A?	A × B ÷ 100	12 % von 250 sind 250 × 12 ÷ 100 = 30
Wie viel Prozent von B ist A?	A ÷ B × 100	30 sind 30 ÷ 250 × 100 = 12 % von 250
Um wie viel Prozent hat sich A zu B verändert?	(B − A) ÷ A × 100	Von 80 auf 100 sind (100 − 80) ÷ 80 × 100 = 25 % Zunahme

In allen drei Formeln ist die Zahl, durch die du teilst, die Bezugsgröße. In der dritten ist das A, der Wert vor der Veränderung. Teilst du die Veränderung von 80 auf 100 stattdessen durch 100, kommen 20 % heraus – das ist die Antwort auf eine andere Frage: „80 ist 20 % weniger als 100.“

Prozent und Prozentpunkte

Vergleichst du zwei Quoten, gibt es zwei Arten, die Veränderung zu beschreiben. Angenommen, von 500 Befragten antworten erst 20 (4 %) und später 25 (5 %) mit „Ja“.

• Prozentpunkte geben den Abstand zwischen den beiden Quoten an. 5 − 4 = 1, die Quote ist also um 1 Prozentpunkt gestiegen.
• Prozent gibt die relative Veränderung an. (5 − 4) ÷ 4 × 100 = 25, sie ist also um 25 % gestiegen. Mit den Personenzahlen kommt dasselbe heraus: (25 − 20) ÷ 20 × 100 = 25 %.

Beide Aussagen stimmen, bedeuten aber Verschiedenes. Falsch wäre der Satz, die Quote sei „um 1 % gestiegen“: Steigen 4 % um 1 %, sind das 4 × 1,01 = 4,04 %. Glossare und Schreibrichtlinien von Statistikämtern treffen genau diese Unterscheidung und verwenden Prozentpunkte für den Abstand zwischen Quoten. Wenn du Zahlen liest, die selbst Prozentwerte sind – Zinssätze, Zustimmungswerte, Arbeitslosenquoten –, prüfe, ob „gestiegen“ den Abstand oder die Veränderungsrate meint.

Erst erhöhen, dann um denselben Satz senken ergibt nicht den Ausgangswert

Erhöhst du 100 um 20 %, erhältst du 120. Senkst du 120 um 20 %, erhältst du 120 × 0,8 = 96 und nicht 100. Die 20 % beim Erhöhen sind 20 % von 100 (20), die 20 % beim Senken sind 20 % von 120 (24) – die Bezugsgröße ist eine andere.

In einem Schritt gerechnet: 1,2 × 0,8 = 0,96. Auch wenn du zuerst senkst und dann erhöhst, kommt also 96 heraus, 4 % weniger als der Ausgangswert. Um von 120 wieder auf 100 zu kommen, musst du um 20 ÷ 120 × 100 = rund 16,67 % senken.

Mehrere Rabatte werden multipliziert, nicht addiert

30 % Rabatt und danach noch einmal 20 % Rabatt sind keine 50 %. Ausgehend von 200:

• 30 % Rabatt: 200 × 0,7 = 140
• Weitere 20 % Rabatt: 140 × 0,8 = 112

Übrig bleibt der Anteil 0,7 × 0,8 = 0,56, der Gesamtrabatt beträgt also 44 %. Der zweite Rabatt bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis von 140 und zieht deshalb 20 % von 140 (28) ab, nicht 20 % von 200 (40).

Bei mehreren Erhöhungen gilt dasselbe. Erhöhst du 100 zweimal um 10 %, sind das 100 × 1,1 × 1,1 = 121 – ein Anstieg von 21 %, nicht von 20 %. Der Zinseszins folgt diesem Prinzip.

Den Preis vor dem Rabatt zurückrechnen

Kostet etwas nach 30 % Rabatt 84, war der ursprüngliche Preis 84 ÷ (1 − 0,3) = 84 ÷ 0,7 = 120. Die Probe: 120 × 0,7 = 84.

Der häufige Fehler ist hier, die 30 % wieder auf 84 aufzuschlagen. Das ergibt 84 × 1,3 = 109,2 und passt nicht zu 120. Abgezogen wurden 30 % des ursprünglichen Preises, aufgeschlagen werden aber 30 % des reduzierten Preises. Um von einem Wert, der um den Satz r gesenkt wurde, zum Ausgangswert zu kommen, teilst du durch (1 − r); bei einem um r erhöhten Wert teilst du durch (1 + r).

Zunahme und Abnahme sind nicht symmetrisch

Wird aus 50 der Wert 100, sind das (100 − 50) ÷ 50 × 100 = 100 % Zunahme. Wird aus 100 der Wert 50, sind das (50 − 100) ÷ 100 × 100 = −50 %, also 50 % Abnahme. Der Abstand beträgt beide Male 50, aber die Bezugsgrößen sind 50 und 100, deshalb unterscheiden sich die Prozentsätze.

Darum kann eine Abnahme nicht mehr als 100 % betragen (solange der Wert nicht unter 0 fällt), während eine Zunahme keine Obergrenze hat. Und ein Wert, der um 50 % gefallen ist, muss um 100 % steigen – nicht um 50 % –, um wieder den alten Stand zu erreichen.

Was du vor dem Rechnen klären solltest

• Was ist die Bezugsgröße? „20 % mehr“ und „20 % weniger“ haben verschiedene Bezugsgrößen und sind deshalb keine Umkehrung voneinander. Lege zuerst fest, wodurch du teilst.
• Abstand oder Veränderungsrate? Wenn du zwei Quoten vergleichst, sag dazu, ob du Prozentpunkte oder Prozent meinst.
• Hat sich der Wert mehrfach verändert? Addiere die Prozentsätze nicht, sondern multipliziere nacheinander mit (1 ± Satz).
• Rechnest du zurück? Wende nicht denselben Prozentsatz in Gegenrichtung an, sondern teile durch (1 ± Satz).

Gib die Zahlen aus diesem Artikel in die verwandten Tools unten ein, um zu prüfen, ob du dieselben Ergebnisse erhältst.