Porcentaje y puntos porcentuales, y los errores más comunes al calcular porcentajes
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Las fórmulas de los porcentajes son sencillas y, aun así, los resultados salen mal a menudo. Casi nunca falla la multiplicación: lo que falla es perder de vista la base, es decir, «¿porcentaje de qué?». Esta guía resume los tres cálculos básicos y después repasa con números las confusiones más habituales que provoca la base.
Los tres cálculos básicos de porcentajes
Casi todos los problemas de porcentajes son uno de estos tres.
| Qué se pregunta | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| ¿Cuánto es el B % de A? | A × B ÷ 100 | El 12 % de 250 es 250 × 12 ÷ 100 = 30 |
| ¿Qué porcentaje de B es A? | A ÷ B × 100 | 30 es 30 ÷ 250 × 100 = el 12 % de 250 |
| ¿Qué porcentaje ha variado A al pasar a B? | (B − A) ÷ A × 100 | Pasar de 80 a 100 es (100 − 80) ÷ 80 × 100 = un 25 % de aumento |
En las tres fórmulas, el número por el que divides es la base. En la tercera, la base es A, el valor anterior al cambio. Si divides el cambio de 80 a 100 entre 100, obtienes un 20 %, que responde a otra pregunta: «80 es un 20 % menos que 100».
Porcentaje y puntos porcentuales
Al comparar dos tasas hay dos formas de describir el cambio. Supón que, de 500 personas, las que responden «sí» pasan de 20 (4 %) a 25 (5 %).
- Los puntos porcentuales son la diferencia entre las dos tasas. 5 − 4 = 1, así que la tasa ha subido 1 punto porcentual.
- El porcentaje es el cambio relativo. (5 − 4) ÷ 4 × 100 = 25, así que ha subido un 25 %. Con el número de personas sale lo mismo: (25 − 20) ÷ 20 × 100 = 25 %.
Las dos afirmaciones son correctas, pero no significan lo mismo. Escribir que la tasa «ha subido un 1 %» sería un error, porque un 4 % que sube un 1 % es 4 × 1,01 = 4,04 %. Los glosarios y las guías de estilo de los organismos estadísticos hacen esta distinción y usan los puntos porcentuales para la diferencia entre tasas. Cuando leas cifras que ya son porcentajes, como tipos de interés, índices de aprobación o tasas de paro, comprueba si «ha subido» se refiere a la diferencia o a la tasa de variación.
Subir y luego bajar el mismo porcentaje no te devuelve al valor inicial
Si subes 100 un 20 %, obtienes 120. Si bajas 120 un 20 %, obtienes 120 × 0,8 = 96, no 100. El 20 % de la subida es el 20 % de 100 (20), y el 20 % de la bajada es el 20 % de 120 (24): la base es distinta.
En un solo paso, 1,2 × 0,8 = 0,96, así que bajar primero y subir después da el mismo 96, un 4 % menos que el valor inicial. Para volver de 120 a 100 hay que bajar 20 ÷ 120 × 100 = aproximadamente un 16,67 %.
Los descuentos sucesivos se multiplican, no se suman
Un descuento del 30 % seguido de otro del 20 % no es un 50 % de descuento. Partiendo de 200:
- 30 % de descuento: 200 × 0,7 = 140
- Otro 20 % de descuento: 140 × 0,8 = 112
La parte que queda es 0,7 × 0,8 = 0,56, así que el descuento total es del 44 %. El segundo descuento se aplica al precio ya rebajado, 140, de modo que quita el 20 % de 140 (28) y no el 20 % de 200 (40).
Con las subidas sucesivas ocurre lo mismo. Si subes 100 un 10 % dos veces, obtienes 100 × 1,1 × 1,1 = 121: una subida del 21 %, no del 20 %. El interés compuesto sigue este principio.
Calcular el precio anterior al descuento
Si el precio después de un descuento del 30 % es 84, el precio original es 84 ÷ (1 − 0,3) = 84 ÷ 0,7 = 120. La comprobación: 120 × 0,7 = 84.
El error habitual aquí es volver a sumar el 30 % a 84. Eso da 84 × 1,3 = 109,2, que no coincide con 120. El descuento quitó el 30 % del precio original, pero al sumar se añade el 30 % del precio rebajado. Para recuperar el valor original a partir de uno que se redujo en una tasa r, divide entre (1 − r); a partir de uno que se aumentó en r, divide entre (1 + r).
Los aumentos y las disminuciones no son simétricos
Cuando 50 pasa a 100, es (100 − 50) ÷ 50 × 100 = un 100 % de aumento. Cuando 100 pasa a 50, es (50 − 100) ÷ 100 × 100 = −50 %, es decir, un 50 % de disminución. La diferencia es 50 en los dos casos, pero las bases son 50 y 100, y por eso los porcentajes no coinciden.
Por esta razón una disminución no puede superar el 100 % (mientras el valor no baje de 0), mientras que un aumento no tiene límite. Y también por eso un valor que ha caído un 50 % tiene que subir un 100 %, no un 50 %, para volver a donde estaba.
Qué comprobar antes de calcular
- ¿Cuál es la base? «Un 20 % más» y «un 20 % menos» tienen bases distintas, así que una expresión no es la inversa de la otra. Decide primero entre qué divides.
- ¿Diferencia o tasa de variación? Si comparas dos tasas, indica si hablas de puntos porcentuales o de porcentaje.
- ¿Ha cambiado más de una vez? No sumes los porcentajes. Multiplica por (1 ± tasa) en cada paso.
- ¿Estás calculando hacia atrás? No apliques el mismo porcentaje en sentido contrario. Divide entre (1 ± tasa).
Introduce los números de esta guía en las herramientas relacionadas de abajo para comprobar que obtienes los mismos resultados.